Mente e matematica
Nel saggio Mente e matematica, Gabriele Lolli invita a rompere l’abituale separazione tra lo studio della mente e la matematica, chiedendo che si dedichi maggiore attenzione all’attività matematica come chiave per comprendere i meccanismi cognitivi, sia nella mente umana che nell’intelligenza artificiale. Già nel titolo – osserva – c’è un’esortazione: non limitarsi alla computazione, cioè al solo aspetto esecutivo e algoritmico della matematica, che pure è quello più facilmente delegabile alle macchine, ma guardare alla forma tipica del pensiero matematico, che è ben più ampia.
Lolli denuncia un riduzionismo radicato, in cui la matematica è spesso ridotta a un insieme di regole operative, secondo una visione “wittgensteiniana” che, applicata all’Intelligenza Artificiale, continua a oscillare tra algoritmi e neurofisiologia, senza affrontare davvero il nucleo concettuale del pensiero matematico. Allo stesso tempo, rimprovera agli psicologi di affidarsi a intuizioni e autoanalisi frammentarie (come quelle di Hadamard), evitando un’analisi logica rigorosa dell’attività matematica.
Turing, al contrario, aveva compreso la necessità di investigare ogni aspetto della fenomenologia matematica – intuizione, struttura dimostrativa, relazione tra teoria e metateoria – come passi fondamentali per costruire un “cervello logico”. Aveva intuito che la logica matematica, con le sue forme raffinate (logiche ordinali, teorie dei tipi), poteva fornire strumenti potenti per modellare la mente.
Tuttavia, osserva Lolli, né i logici né i filosofi della matematica sembrano oggi disposti a prendersi il carico di tale compito, quasi fossero convinti della sterilità dei propri saperi. Così, il pensiero simbolico viene spesso affidato a mitologie o alla linguistica, dimenticando che proprio in matematica – e nella logica matematica in particolare – i simboli sono oggetti astratti, dotati di una molteplicità di rappresentazioni e significati.
La vera essenza della matematica moderna, sottolinea Lolli, non è dunque la computazione né, forse, neppure la dimostrazione formale, ma l’astrazione. A partire dall’Ottocento, la matematica si è popolata di strutture sempre più complesse e concettuali – una vera proliferazione di mondi. Yu. Manin, ricordato da Lolli, ha mostrato come concetti altamente astratti (spazi di Hilbert, connessioni, dimensioni infinite, solitoni…) siano centrali per la fisica teorica: ciò che la scienza chiede alla matematica non sono solo tecniche, ma strumenti concettuali, “immagini-ponte” tra il linguaggio simbolico e l’interpretazione del mondo fisico.
Ma questi “ponti” – avverte Lolli – non si fondano su una banale divisione tra emisferi cerebrali (computazionale e immaginifico): una tale spiegazione sarebbe tanto semplicistica quanto fuorviante. Piuttosto, è il rapporto tra formule e immagini, tra discreto e continuo, a generare quella tensione creativa che fa avanzare la matematica. Bochner, ad esempio, insiste sulla necessità che ogni astrazione abbia un corrispettivo operazionale: altrimenti, è priva di senso per un matematico.
A questo proposito, Lolli introduce un esempio fondamentale: il teorema di Gödel. Lungi dal rappresentare un confine invalicabile o una dimostrazione “mistica”, questo teorema svela il meccanismo attraverso cui il pensiero astratto emerge dal formalismo. Mostra che le idee non si limitano a precedere gli assiomi, ma possono essere generate anche dalla loro contemplazione. In questo senso, la logica matematica è lo spazio privilegiato per comprendere come il pensiero matematico si sviluppi.
La nozione chiave – rileva Lolli – è quella del quantificatore universale su un dominio infinito: è questa la prima forma di astrazione autentica, ed è attorno ad essa che si articola la necessità di affiancare sempre a una teoria una metateoria. La matematica non-standard, nella sua apparente esotericità, mostra come la duplicazione tra teoria e metateoria non sia una complicazione inutile, ma uno strumento indispensabile per gestire la relatività delle affermazioni astratte.
Nel campo dell’Intelligenza Artificiale, conclude Lolli, questa lezione ha implicazioni profonde: frasi come “io sono capace di fare una moltiplicazione” implicano una coscienza della regola, ma anche una struttura teorica e metateorica – e dunque una potenziale incompletezza. Gödel, ancora una volta, ci ricorda che anche il possesso di una regola non implica la capacità assoluta di applicarla in ogni caso.
Il saggio si chiude con l’auspicio di un dialogo più profondo tra matematica, logica e scienze cognitive, dove il pensiero astratto non sia più eluso o rimosso, ma assunto come oggetto centrale dell’indagine.
